機(jī)械社區(qū)

標(biāo)題: 直角三角形也可以讓人頭疼 [打印本頁(yè)]
作者: 陽光小院暖茶    時(shí)間: 2015-9-9 09:43
標(biāo)題: 直角三角形也可以讓人頭疼
有一種直角三角形，三邊的邊長(zhǎng)恰好是整數(shù)，而且兩直角邊相差1，最小的例子就是勾三股四弦五。問題是：這樣的直角三角形如何全部找出來？
! q2 J$ y: q% _% T9 F5 a( ^
作者: 陽光小院暖茶    時(shí)間: 2015-9-9 09:44
有同學(xué)能給出方法嗎？
作者: xiong__007    時(shí)間: 2015-9-9 10:22
三邊的邊長(zhǎng)恰好是整數(shù)，這個(gè)條件不好做
作者: DTxugong    時(shí)間: 2015-9-9 10:25
自己解方程  X^2+Y^2=Z^2；Y=X+1的所有正整數(shù)解，x=?,Y=?，Z=?,類似的有
3 z* X; ?4 v) h# m  k$ x2 m0 s20、21、29； ) }2 c3 ?+ T/ M' V6 L
119、120、169； - z3 s* O* _4 N
696、697、985； 2 Q3 ^* k# n1 @# ^6 j# f; n5 f
4059、4060、5741； 3 G0 k: C$ F0 r7 N2 w$ ~
23660、23661、33461； ' j. r" S0 E+ C8 }; S! @
137903 137904 195025
0 p$ R. M2 {3 `" I! x( p. b803760 803761 1136689 0 o3 N7 b2 X' N& O  r, x, e
4684659 4684660 6625109
; P9 M: ]$ @" L* ?; T......
作者: 劉景亞    時(shí)間: 2015-9-9 10:39
這個(gè)是找不完的，理論上應(yīng)該有無數(shù)多個(gè)。
: u$ I) \! r  }/ d利用程序進(jìn)行窮舉，邊長(zhǎng)在1千萬以內(nèi)的只有9個(gè)。
作者: 劉景亞    時(shí)間: 2015-9-9 10:40
窮舉程序如下：' N( k; P0 Q1 u# Z
a=1:10000000;
* p5 Q$ f5 l. K# Q% K0 r* I, xm=2.*a.*a+2*a+1;4 U, e( c: H9 m2 e
k=sqrt(m);
3 q& F0 ?# ]1 ^1 e) h2 {5 gyushu=rem(k,1);# Q7 \( r& D$ B' D1 G9 i; i( _/ l

3 O# p7 n8 \9 D; k$ Inum=0;
: }2 `9 g$ L- P& Ofor i=1:length(a)
* Y" x# F3 R- A& x/ J    if yu(i)==0
) x  g. I* u; z        num=num+1;8 @9 `/ ~0 N( c0 U3 ^) P/ g8 L
    end% t0 G- \, ]/ T9 k0 O% I
end' O) G/ H0 _! d4 I) P) e
num
作者: biudiu    時(shí)間: 2015-9-9 10:53
列方程，用excel都可以8 B# i% Y- M1 J0 C1 }6 ^( r6 x, r
你不給個(gè)上限，我可能寫到死！
8 n9 k9 G6 @. G7 [* v一千以內(nèi)的1 b9 Y: j# S( A
3        4        5
$ U- W, H5 s3 j  q7 M+ l& X$ U20        21        29
' a, P& ^  o' f4 V119        120        169
1 y: u% p8 L* _" u2 X. e1 X! u
作者: 海燕ZHpf    時(shí)間: 2015-9-9 11:11
鉆牛角尖。
作者: Pascal    時(shí)間: 2015-9-9 12:01
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11
8 R  g2 d4 N, N3 c4 @鉆牛角尖。
% R% c! q6 @; N, Q  k
這是個(gè)純數(shù)學(xué)題目。
& R, c% R- h- k3 f. c4 b5 x: ?機(jī)械圈的可以認(rèn)為是鉆牛角尖，數(shù)學(xué)圈子可不這么看。
作者: biudiu    時(shí)間: 2015-9-9 12:31
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 12:01
3 s  V, w8 w1 x/ C8 z這是個(gè)純數(shù)學(xué)題目。
/ o8 a0 j7 d9 U+ k+ m% t) f機(jī)械圈的可以認(rèn)為是鉆牛角尖，數(shù)學(xué)圈子可不這么看。

$ Q3 o( |0 M& W0 N哈哈，大俠，我認(rèn)為機(jī)械圈里也不是牛角尖, _! W6 ^! |% [2 N! A
2 d! p( x# I5 V
有一次我設(shè)計(jì)中心架，在不改變初期計(jì)算的模型基礎(chǔ)上，為了保證好加工，好檢查，三角形三邊我都是整數(shù)，角度也是整數(shù). w5 M/ K" p; R! u& f% K7 Z+ e& j( V

3 z+ K0 {8 E* Y/ i- V也就是勾股定理，加上excel，就解決了。。。。。- P% g6 }& M5 P5 F* @0 \
8 ]( m0 E: ~8 c3 i

# ^& |* ?2 [6 e$ Y
! p8 H* h1 d9 _& ~$ J
作者: 陽光小院暖茶    時(shí)間: 2015-9-9 12:59
謝謝。機(jī)械社區(qū)就是好啊。不過，在網(wǎng)上有一個(gè)答案是這樣的，設(shè)u和v是方程x^2-2x-1=0 的兩個(gè)跟，則直角三角形的較短直角邊的邊長(zhǎng)a=(u^n+v^n-2)/4,其中n為奇數(shù)且n>1.
* N0 y( S0 i1 h7 o. L1 w$ X我一個(gè)個(gè)地驗(yàn)算：
! @! D( }: f/ b3 v* X當(dāng)n=3時(shí)，a=3* o) ]/ K! n) ]% z. X3 Q
當(dāng)n=5時(shí)，a=20
  e8 C( R' b: i, j當(dāng)n=7時(shí)，a=1194 t) L8 v7 f; W4 X) n% d
當(dāng)n=9時(shí)，a=696/ G2 ]2 Q' G; s7 S8 ]
n=11后演算有點(diǎn)繁瑣，前面幾個(gè)全部符合要求。看來公式是對(duì)的。有人知道這個(gè)方法的由來嗎？
作者: Pascal    時(shí)間: 2015-9-9 13:23
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11
$ w' o6 ?# f' e5 r4 g( E& g# Y# g, |$ e( S鉆牛角尖。

" E$ U5 R- n" J3 o; g6 A) F0 D. t1. 兩直角邊相差1，注意只差1: \+ h% a+ d/ \4 t7 Z' V+ u# [' m
2. 符合條件的解是否有無窮？我認(rèn)為應(yīng)該是無窮的，但我證明不了。
作者: shouce    時(shí)間: 2015-9-9 13:34
給出證明吧         看來你對(duì)這些問題很有興趣喲     給你來2個(gè)不同的
作者: shouce    時(shí)間: 2015-9-9 13:35
shouce 發(fā)表于 2015-9-9 13:34 , H) Y, G# {; Z- t. n
給出證明吧         看來你對(duì)這些問題很有興趣喲     給你來2個(gè)不同的
1 p# T" [  u$ Z1 T# ?0 c
來2個(gè)
& C0 m" }* t( V0 o( ~
作者: Pascal    時(shí)間: 2015-9-9 13:38
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11 8 j! C" w! L+ F, E
鉆牛角尖。
7 D+ k% U9 T" l: ]5 V
再看看LZ一樓的原題吧，沒有說三邊比例是3：4：5 哦！
$ q6 z1 N$ C: q1 J2 f/ R1 V# N
作者: 海燕ZHpf    時(shí)間: 2015-9-9 13:45
本帖最后由 海燕ZHpf 于 2015-9-9 13:48 編輯
" r- b& U/ s/ J) e0 c4 x
" o+ {6 g6 U3 P  E最小的例子，3-4-5。最大的是多少？
作者: Pascal    時(shí)間: 2015-9-9 15:43
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 13:45
0 i2 U' _" h6 E, m. Y8 O  [最小的例子，3-4-5。最大的是多少？
) R9 \( V$ C* O
符合條件的解是有限個(gè)還是無限個(gè)？9 _$ n0 Q, t! M# z% E$ N3 B
因?yàn)榻馐钦麛?shù)，如果有無限個(gè)解，則沒有最大解；如果是有限個(gè)解，則肯定有最大解。* G0 R1 L9 c, D$ C% Y- `6 n
問題是，怎么知道這個(gè)解是有限個(gè)還是無限個(gè)呢？這需要證明。
0 `) d: Q1 O& C4 Q+ j  G4 V% g明白了么？
作者: DTxugong    時(shí)間: 2015-9-9 17:34
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 15:43 9 m4 C# M( J1 u4 k
符合條件的解是有限個(gè)還是無限個(gè)？
  s0 h8 U% ?  f/ ?% Z- f( s因?yàn)榻馐钦麛?shù)，如果有無限個(gè)解，則沒有最大解；如果是有限個(gè)解，則 ...

8 E4 @( e6 Q" s$ ~/ U如果有有限個(gè)解，則肯定有最大解；這句不能認(rèn)同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限的就肯定可以數(shù)出多少個(gè)一樣；這個(gè)題目本來就有無限個(gè)解你還非要說如果是有限的呢？難道正整數(shù)有限嗎？加個(gè)勾股定理的前提條件，和直角邊長(zhǎng)相差1就變有限了？你肯定會(huì)說你怎么證明是無限；呵呵
作者: 陽光小院暖茶    時(shí)間: 2015-9-9 20:10
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-9 17:34
  [: X2 ]" J  C6 |2 X如果有有限個(gè)解，則肯定有最大解；這句不能認(rèn)同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限 ...
4 V8 Y! F, j0 q5 X4 O, Y
帕斯卡說的很對(duì)的。正整數(shù)無限個(gè)，這不用證明。但符合勾股定理的正整數(shù)三元數(shù)組是否有無限組，這是需要證明的，符合勾股定理并且直角邊相差1的正整數(shù)三元數(shù)組是否有無限組，這更是需要證明的。不能想當(dāng)然地認(rèn)為它是無限的。就像質(zhì)數(shù)是否有無窮多個(gè)也需要證明。/ [8 t3 Z( H/ K1 _2 `; Q. j, A: G
作者: Pascal    時(shí)間: 2015-9-9 20:47
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-9 17:34 # e- [8 X  R. z" g: T
如果有有限個(gè)解，則肯定有最大解；這句不能認(rèn)同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限 ...

: E4 R( b' N. x+ O% _& M3 @4 M: i19樓陽光大俠說得很好，建議仔細(xì)看看。+ p( N/ I$ X  ]0 ?
1. 我也感覺有無限組解。但我證明不了；在沒有明確結(jié)論的前提下，我只能假設(shè)如果有限組解會(huì)如何，如果無限組解會(huì)如何。
9 m6 q9 W2 V& q" }/ X: ~2. ”這個(gè)題目本來就有無限個(gè)解“，數(shù)學(xué)里面沒有本來的事情，除了公理。
7 \, _# j2 E2 V$ q- D6 u6 L
作者: 陽光小院暖茶    時(shí)間: 2015-9-9 20:53
shouce 發(fā)表于 2015-9-9 13:35 + l7 Z% d0 o" |: F  x1 o
來2個(gè)

( S- i5 |5 H: F& y7 j: @4 e' y懸鏈面表面積最小，擺線下降速度最快，呵呵7 K, p6 T1 B, o4 f
這是變分法的內(nèi)容啊
. r  m! q' B; l% _/ h我還不懂這些，式子列出來了，卻解不出來, s" E6 X: @8 Y  c! |% c% N
看書都看不懂，就是那Morris Kline的書。) F' J( ^# E5 j& ?# g
你若知道，給我講講如何解的吧
6 r; }( Q7 {- N# S6 n1 `# k/ H4 t$ E$ _1 J6 E
作者: DTxugong    時(shí)間: 2015-9-10 08:30
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 20:47 7 S2 U+ h$ w. r0 e
19樓陽光大俠說得很好，建議仔細(xì)看看。
+ D- v: D5 H  g. K. A8 }1 X4 u1. 我也感覺有無限組解。但我證明不了；在沒有明確結(jié)論的前提下， ...

% ~( M2 Y! Y( H你們兩個(gè)真是��；是想把這題上升到世界難題的高度嗎？質(zhì)數(shù)有無限個(gè)解幾乎是所有人都認(rèn)同的；也有好幾位數(shù)學(xué)家通過方法證明了；樓主要否定國(guó)際觀點(diǎn)，認(rèn)為質(zhì)數(shù)有有限個(gè)？這題本來就是一個(gè)數(shù)學(xué)題目，難道一個(gè)二元二次方程在正整數(shù)范圍內(nèi)不是有無限解嗎？難道一個(gè)無限解的方程你要說你給我證明為什么有無限個(gè)解？否定科學(xué)的態(tài)度并不代表嚴(yán)謹(jǐn)；
作者: Pascal    時(shí)間: 2015-9-10 09:47
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-10 08:30
0 E6 V4 a6 Q& B# w( N你們兩個(gè)真是��；是想把這題上升到世界難題的高度嗎？質(zhì)數(shù)有無限個(gè)解幾乎是所有人都認(rèn)同的；也有好幾位數(shù) ...

9 C* l: p+ P! K. b$ h3 t3 N
( D0 N+ @& K1 ]3 A1.  我主觀上沒有把這題目上升到世界難題的想法，客觀上也沒這個(gè)能力。$ m* h/ ~: {8 D+ V, O
2.  質(zhì)數(shù)有無限個(gè)是已經(jīng)被證明的，我和陽光大俠哪里否認(rèn)了這個(gè)結(jié)論？0 q% k* |9 y9 B: A
3. “難道一個(gè)無限解的方程你要說你給我證明為什么有無限個(gè)解？否定科學(xué)的態(tài)度并不代表嚴(yán)謹(jǐn)；”* a( Y. j8 o6 i  S0 a' c
    知道張益唐么，他窮畢生之力，才證明了一個(gè)弱化版的孿生素?cái)?shù)猜想，也就是孿生素?cái)?shù)有無限個(gè)。" `4 N- Y* B: p) x8 J
   是不是張益唐的態(tài)度很不科學(xué)，很不嚴(yán)謹(jǐn)？！
作者: 陽光小院暖茶    時(shí)間: 2015-9-10 11:10
我也是恍惚間好像在哪里見過報(bào)道，呵呵，數(shù)論這東西，水太深
作者: DTxugong    時(shí)間: 2015-9-10 11:39
陽光小院暖茶 發(fā)表于 2015-9-10 11:10
( o# c4 u3 k- I! Y我也是恍惚間好像在哪里見過報(bào)道，呵呵，數(shù)論這東西，水太深
8 w" i6 k' U) U1 |8 B* I/ k3 C
我說的是本題的二元二次,X^2+（X+1）^2=Z^2;你給我解解是不是無限；一個(gè)鉆牛角尖的人，帶著自以為是的觀點(diǎn)；數(shù)學(xué)是無窮無盡的，自己水平都沒到還去質(zhì)疑科學(xué)家的理論；是不是到現(xiàn)在1+1=2都沒有被證明，你就不用了？回頭看看你1樓的問題，再找個(gè)數(shù)學(xué)家?guī)湍闳拷庹页鰜戆�；不�?duì)，如果數(shù)學(xué)家說有無限解，你就會(huì)問 為什么�。堪�，不用回我了，爭(zhēng)論這些沒意思；
作者: 小曹11    時(shí)間: 2015-9-10 11:56
要給個(gè)上限才行啊3        4                        5
8 n7 n1 C6 J0 m( d3 }20        21                        29: U; J. O+ T7 o2 L% F; x8 L' N8 e
119        120                        169
+ U) Y: S3 o# M696        697                        985; n1 b& [. Y' ~: j# P, X2 a
4059        4060                        5741' i) O; M. S; L/ O1 g, }* q
作者: 小曹11    時(shí)間: 2015-9-11 11:59
我愛9580 發(fā)表于 2015-9-11 08:08 2 l8 d. q+ p$ P, k
有同學(xué)能給出方法嗎？

6 i/ O/ \1 y; v4 H5 c用表格或者C語言很簡(jiǎn)單的
. r5 ~0 |% h5 `: r! s) Q
作者: pacelife    時(shí)間: 2015-9-13 21:29
100萬之內(nèi)只有8組符合要求，計(jì)算機(jī)也要算好一會(huì)的
作者: fwsc    時(shí)間: 2015-9-13 23:30
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-10 11:39 6 {/ g% v5 I* G" {% K& B5 k
我說的是本題的二元二次,X^2+（X+1）^2=Z^2;你給我解解是不是無限；一個(gè)鉆牛角尖的人，帶著自以為是的觀點(diǎn) ...
" e% Z$ w9 y  L4 l$ Q1 J( Z/ j
未被證明的1+1=2，不是數(shù)字1+數(shù)字1=數(shù)字2，它是歌德巴赫猜的代稱。
6 ]+ h3 C3 l% O0 B$ w- ?6 E- u' b- i! m( }4 v
歌德巴赫猜猜想：每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。例如3+3=6；11+13=24。
/ y4 R2 o5 D' s" @/ B' V" H3 @& n6 B. a1 ~9 E$ B
兩素?cái)?shù)之和[簡(jiǎn)稱(1+1)]，所以形象稱其為1+1。
. h# h+ h' p! e1 C, t1 A% v* J# ]) Y0 N5 E, u$ U
不小于6的偶數(shù)，形象稱其為2，也有人說1+1=2。* w3 v% q% I9 \1 N9 u% X/ k
作者: fwsc    時(shí)間: 2015-9-13 23:56
假定直角三角形的邊為a、a+1、b+ [$ {# c( `9 ~, l: u7 `. H( F* \

& T4 ^% L2 `5 c5 ?' ^' @0 h# v則b^2=a^2+(a+1)^27 S1 d3 P+ |  i5 Y0 N4 D! t
0 g0 r4 H' [, N4 f' g) P* Q: }
得到a=[sqrt(2b^2-1)-1]/2，a>0，排除負(fù)根
6 l! m7 P6 g, d2 O, J( h& a0 h* m; e6 z" G' R' Q
顯然[sqrt(2b^2-1)-1]為偶數(shù)，否則a不可能為整數(shù)
5 D- c6 R5 _" i% [$ A! s, s( s5 n3 K+ Y% b' E3 @
令[sqrt(2b^2-1)-1]=2p，得到b=sqrt(2p^2+2p+1)% ]/ \5 Z+ [: f& v) ?& y
# P- L7 u5 c2 ~$ q5 T* I. E, ^4 N
將b代入a，得到a=sqrt(2p^2+2p)+1. _. m. J; }# G) z( h9 b

. {7 z6 h& P" l# N" Y3 y下面我沒轍了9 [0 B; n% R9 t
6 [/ c$ m* i. u4 s
作者: 好學(xué)很好學(xué)    時(shí)間: 2015-9-15 14:04
excel
作者: l315609843    時(shí)間: 2015-9-16 14:07
xiong__007 發(fā)表于 2015-9-9 10:22 5 h) a6 q9 A6 U5 f& Y
三邊的邊長(zhǎng)恰好是整數(shù)，這個(gè)條件不好做
& o" {* c+ Y  i/ t! \
直角三角形，怎么可能三邊邊長(zhǎng)一樣啊4 M" z' k* z- Z+ \% x2 w1 ]
作者: xiong__007    時(shí)間: 2015-9-16 14:51
l315609843 發(fā)表于 2015-9-16 14:07
- Z- y* O7 a# u( Y直角三角形，怎么可能三邊邊長(zhǎng)一樣啊

3 ^/ Y6 Y0 b: w$ B: n* k) Z# n請(qǐng)把樓主的題目看全
1 x9 m; a8 D8 ~4 j/ S
作者: dianfy    時(shí)間: 2015-9-19 14:37
各位數(shù)學(xué)學(xué)得不錯(cuò)啊



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