機(jī)械社區(qū)

標(biāo)題: 一個(gè)有意思的題目，微積分的力量 [打印本頁(yè)]
作者: pacelife    時(shí)間: 2017-7-13 12:08
標(biāo)題: 一個(gè)有意思的題目，微積分的力量
        題目其實(shí)比較常見，和機(jī)械中的某些概念也有互通之處，大家畫圖累了不妨做一下?lián)Q換腦子。
* j* K0 [: t+ M( ~- E
, \/ `8 G) n8 @1 W, o1 ^      非洲草原上有一條南北向筆直的河，一只羚羊在河邊喝水，其身后距離為L(zhǎng)處有一只虎視眈眈的獅子。某時(shí)刻羚羊發(fā)現(xiàn)了獅子，立刻以速度v向北奔跑，獅子迅速以速度2v奮起追擊，方向始終對(duì)準(zhǔn)羚羊，試問(wèn)獅子經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間能夠追上羚羊？要求畫出羚羊和獅子的動(dòng)態(tài)行進(jìn)軌跡。" V7 m/ u1 _# K. S; v

( }, I" M! [6 ?2 l; _7 a      晚上回去把我的解法貼出來(lái)4 j; R" X0 m0 i0 R  J4 A

- j) [. g6 W( r4 g. P. Y" G
8 {/ d. z$ c8 _& y$ ]( R9 g$ A" H/ a5 l% v4 L5 X
' Q& p& Z1 F' c8 B6 a. t5 {
作者: 鐵未銷    時(shí)間: 2017-7-13 13:28
本帖最后由 鐵未銷 于 2017-7-13 13:30 編輯
- V) `. M2 K+ F5 U9 ]( z6 ^2 Y3 [) b& W' a' c+ H3 o, r: k
難道不是t=L/V？
/ x$ C& A1 V6 h/ ~
作者: pacelife    時(shí)間: 2017-7-13 13:33
鐵未銷 發(fā)表于 2017-7-13 13:28
& b" B2 N4 v) k, z; t  x6 F1 H難道不是t=L/V？

. g# u) j( t/ u逃跑的方位你沒搞清楚
# M+ d4 [' A: c3 @9 G- s' v
作者: WXB4006    時(shí)間: 2017-7-13 13:49
有難度
4 A7 R! N2 n2 m; y/ \
作者: 忽樂極    時(shí)間: 2017-7-13 13:51
別最后來(lái)個(gè)冷笑話就行
作者: 那年夏天521    時(shí)間: 2017-7-13 14:11
hehe
作者: 挨拍的5    時(shí)間: 2017-7-13 14:16
永遠(yuǎn)追不上的
作者: 鐵未銷    時(shí)間: 2017-7-13 14:16
pacelife 發(fā)表于 2017-7-13 13:33
* l  a0 z; {) p逃跑的方位你沒搞清楚

% `$ o9 J# q# P. D1 v好吧，看來(lái)這個(gè)身后是東西向的了
/ c4 p2 O; v" ~4 n% z. K2 s3 }4 O; e7 U7 K8 B4 O" v8 U8 G
作者: 只有快樂    時(shí)間: 2017-7-13 14:44
近乎于一條曲線，無(wú)限接近于0點(diǎn)
作者: 挨拍的5    時(shí)間: 2017-7-13 15:52
很明顯要用微積分的知識(shí)
作者: xiaobing86203    時(shí)間: 2017-7-13 17:35
數(shù)學(xué)的力量是強(qiáng)大的~
作者: 夢(mèng)回舊時(shí)光    時(shí)間: 2017-7-13 18:08
獅子運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向一直指向羚羊。
作者: 水秀天藍(lán)    時(shí)間: 2017-7-13 18:15
導(dǎo)彈的模型。
作者: 水秀天藍(lán)    時(shí)間: 2017-7-13 18:17
這個(gè)應(yīng)是一個(gè)二階非線性微分方程，可轉(zhuǎn)化為一階方程，并且存在解析解，甚至是顯函數(shù)表示的。
作者: 蘇州裝配工    時(shí)間: 2017-7-13 20:51
結(jié)果是（2/3L-2）* 根號(hào)L？
+ K5 c6 J, H+ y
$ R. s1 B2 X: f$ v* Z5 ?) \# A+ g- I* y! p
作者: 楊冬冬    時(shí)間: 2017-7-13 21:06
dy/dt=2v* (L-y)/√[(〖(L-y)〗^2+〖(Vt)〗^2 )],當(dāng)t=0,y=0；解這個(gè)方程y=L，就得出時(shí)間。有沒有解析解不知道，但我們是工程師，數(shù)值解法搞定
作者: pacelife    時(shí)間: 2017-7-13 22:00
本帖最后由 pacelife 于 2017-7-15 08:38 編輯 : Q- [% W  f* v
* |. {( x$ w* Y  g
解析解為：2 R# U7 X7 `+ L0 _9 f; e
[attach]427922[/attach]* p3 ?9 C+ S# g) [, x8 I/ V
/ m( ?) C3 p. f* ?- K4 ]5 b+ o" @+ d
下面動(dòng)畫為L(zhǎng)=100，v=1的情況：2 O; q/ Y4 P" D( t* ^1 l
表達(dá)式為：$ B. H7 d1 S/ N1 o) a2 a
[attach]427920[/attach]' d; v0 r6 o# U
因?yàn)閤值為（-100,0），所以表達(dá)式中會(huì)有個(gè)i，% X$ x$ i% }9 t! C
按F5刷新一下看動(dòng)畫，
2 @2 c& S/ ]' T% D; K
3 b4 l* d7 B. W/ S9 H[attach]427919[/attach]
作者: 水秀天藍(lán)    時(shí)間: 2017-7-13 22:47
轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)是否可行，好像求導(dǎo)變換蠻復(fù)雜，可能真要Maple才行。
作者: gerrard    時(shí)間: 2017-7-14 09:08
試著解一下( U* ?6 C6 i1 h% J' C7 C& y( G: R1 C# Q

7 F& y' r5 ?! f( a4 Q9 Z7 c
作者: pacelife    時(shí)間: 2017-7-14 09:39
我的解法：[attach]427846[/attach]" l  }0 L1 F' B3 w/ j2 B
* |* w' R" m2 u
0 i8 [% g5 k3 q; M7 ~* p2 E3 h0 |* e

' i  j! k$ f" {$ A* e2 H" O5 N# w" e# p2 |, L; U
作者: 動(dòng)靜之機(jī)    時(shí)間: 2017-7-16 00:47
回去翻書，網(wǎng)搜，找到有關(guān)資料，復(fù)習(xí)了一下。
1 t" {7 i+ C: q% h 抄作業(yè)如下：
0 Q" f' j9 B; G2 [! ?1 J[attach]427993[/attach]
3 n3 E8 P/ H/ g. J" O& I) @4 G/ O: Q8 X# N0 N, A( `4 v7 g
動(dòng)圖， 俺就不會(huì)畫了。。。
6 w) x2 f' H$ P4 b& `! L& \
3 Q! ^6 H* V7 ~
作者: 動(dòng)靜之機(jī)    時(shí)間: 2017-7-16 10:50
昨晚一犯困，沒算時(shí)間，如果是考試， 又得丟分。: q2 V. ^' T0 U7 t1 e& d( b
[attach]428020[/attach]
6 O; M8 I# t1 U( P; G0 |' q9 |, E( @; v$ {
# f) d' ?8 P& o2 y( D
獅子確實(shí)是花了同樣的時(shí)間，跑了兩倍的路程。
. c' x' F2 W$ f% @
沒辦法，都是為了活命。
阿彌陀佛。。。。。。

3 d( E2 N! G/ Y, u# U) |1 {9 V( {* v! W. a" R4 j
' U/ A# n) g8 Z) j

& a+ W" a- q' K4 I* a8 G4 b
作者: 我是烏鴉啊啊啊    時(shí)間: 2017-7-16 13:21
pacelife 發(fā)表于 2017-7-13 22:00, b. h5 o5 |) b+ v
解析解為：
( t) [( g% }/ e7 K8 e( L
那最后這個(gè)題的答案是多少啊，方便把動(dòng)圖的代碼貼出來(lái)嘛
4 T' Z0 Y! ]" K4 @" x
作者: zhuzai    時(shí)間: 2017-7-16 14:23
pacelife 發(fā)表于 2017-7-14 09:39% }* T( ~' E% R5 W
我的解法：
1 ~/ t9 i5 p+ V3 v
能詳細(xì)點(diǎn)嗎？
  Q4 s# t# ]4 z+ F2 d" E! x
作者: 我是烏鴉啊啊啊    時(shí)間: 2017-7-17 17:54
我是烏鴉啊啊啊 發(fā)表于 2017-7-16 13:21
9 Q; D2 o; W9 Q) _& ]那最后這個(gè)題的答案是多少啊，方便把動(dòng)圖的代碼貼出來(lái)嘛
1 H3 V: ^; o9 \- d, _. n: e- H$ {
恩，有看到，那個(gè)動(dòng)圖是用Mathematica做出來(lái)的吧，想看看代碼可以嘛
+ N' A) ^! U' j, k
作者: 肥啊肥    時(shí)間: 2017-7-17 19:48
pacelife 發(fā)表于 2017-7-13 22:00
+ _" \4 l% J1 [: Z解析解為：
8 T  {5 r  v' z$ {5 |
能把動(dòng)圖的代碼發(fā)一下么，應(yīng)該是mathematic吧2 l/ m$ C. I* z
作者: 段學(xué)斌    時(shí)間: 2017-7-18 20:21
求mathematic的代碼
作者: pacelife    時(shí)間: 2017-7-19 22:05
我是烏鴉啊啊啊 發(fā)表于 2017-7-17 17:546 p* h7 ]5 J/ c0 X
恩，有看到，那個(gè)動(dòng)圖是用Mathematica做出來(lái)的吧，想看看代碼可以嘛
% J+ a( i9 w( |  I7 J
K = DSolve[{-V/(x*f''[x])*Sqrt[1 + f'[x]^2] == 2*V, f[-L] == 0,
: o+ |8 X! F4 n/ E# D- @. @    f'[-L] == 0}, {f[x]}, x];
. ]* m: ~9 P& k- M9 n3 v  T. ~M = K /. {V -> 1, L -> 100};
6 K3 l- P+ P( A8 |# `Manipulate[0 M6 b8 U9 |# I+ |
Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0}, " w1 y2 T  i( A: L7 ^
  Epilog -> {PointSize[0.01], Black,
( B. a- s: d1 I+ P6 I    Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
4 u) F8 a" Y/ }' `" Z       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed, 2 K5 Y3 ^) F5 ]  u3 D- t, K4 y5 J
    Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
  k# R: I$ Z* ?, `- R% y       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a, -100,
% G( j' O- ^: o2 W  0}]
+ B% @% T& k) u5 T3 T2 [# HExport["1.gif", ( u' q7 M" m- [2 U, ]) ^
Table[Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0},
# x2 u3 |6 r# P- F% f   Epilog -> {PointSize[0.01], Black, / _3 T7 W# s% f+ K5 u6 q7 K
     Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
' n! X6 C5 v+ |        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,( ^4 q: Q5 ~5 q% o) w
      Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,   \+ G0 I( W4 K" T$ J
        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a,
# k3 q; Q8 I5 J! v4 \; a5 D+ ^' L   Join[Range[-100, -1], {-0.0001}]}]]
7 `4 E: Z# V1 x5 D
4 e3 f' @2 [' h$ e- j: Y
作者: myfunction    時(shí)間: 2017-7-21 18:03
學(xué)習(xí)了。
作者: 快樂ipk    時(shí)間: 2017-8-7 22:33
太好了，非常感謝樓主的分享!
作者: qq5847271217    時(shí)間: 2017-8-9 16:38
不是很懂你們，也許是我太傻，我這么看：3 [) X* h( }8 s6 w/ l: c6 r
獅子位于0，
8 j- p, V; c' `6 g( i4 b 羊位于L " _6 p' z8 r( A- t- q7 v( W% Y
羊最終被抓的路程為S13 u( Y9 b4 {2 k3 ?6 Y. ?2 R
獅子最終路程為S1+L
4 \1 L% |* {% W+ I% v- U- A2 E- Q. K S1=Vt9 ?4 }- J0 b8 w" Y  V
S1+L=2Vt ; ?* o/ ?0 E0 q
可以得知L=VT
3 T* ]9 \% h8 ?' q% i- ~6 t# d" V6 S/ D

' H. g2 C- a- C: o) i+ |+ b6 x8 `$ R然后畫位移與時(shí)間的方程圖，是兩條相交的直線。然后還有啥？



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