一款另類的橢圓規(guī) ---- 外嚙合1:1傳動

動靜之機

0 ]1 I% i  Z) _3 ^' F這兩天比較愉快。小子連闖兩道關(guān)，考上了南外初中。
3千多人抽簽（絕大多數(shù)都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。

那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數(shù)學太難（出題也用英語）。
俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
: P# @3 c! s) }( K$ r' o不過此次考試沒考這類轉(zhuǎn)幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：
, ~7 ~  c* [( |6 I) l6 p一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續(xù)I
; q4 E! d$ r6 a0 A" |) Qhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
: B, i; I2 Y1 v6 F) u( N
5 n  j4 Z: e) [$ S5 R! K  s一周前，俺發(fā)了這個帖子：
怎樣車橢圓
! `9 N3 X% c; g  p5 m% g0 ]; S0 jhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983

里面提到的德國網(wǎng)站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規(guī)：

這個就是十字滑軌式的，已經(jīng)在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。
: h# ?7 [. h4 r0 `- F3 r6 o
+ [9 \! m  \* ?: o' K
* l6 o- C6 \" r( v$ i) g  {1 \這個顯然是利用內(nèi)齒輪嚙合的機構(gòu)，大小直徑比為2，這也說過了。


對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網(wǎng)站只是說該橢圓規(guī)機構(gòu)
允許在機構(gòu)旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。
5 S* U3 J5 j( m, V; V" \
- f. t7 T6 a  m% g% r5 s圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發(fā)現(xiàn)有這么一張圖，簡直一摸一樣：
3 c1 {0 ]+ F. L# r$ e3 w（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
% I9 @0 x1 I  Q  \+ d; w$ A1 A, G0 {
- J9 Y1 _0 p, C9 S: w

意味著有相關(guān)文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

/ \6 g7 g& N2 E* Q1 r, a

不死心，重新搜關(guān)鍵詞，找到一個鏈接，對該機構(gòu)有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
于是搜來（估計是蘇聯(lián)圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。
2 W& n8 }) Y, L) S1 Y
翻遍全書，發(fā)現(xiàn)在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：

/ G) v. p+ U. P* g這個證明和照片里的橢圓規(guī)不太一樣。

" V- \9 ?2 e. k好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構(gòu)也畫瓢地證一遍：
設(shè)仿形機構(gòu)放大系數(shù)為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
圓心的右側(cè)（計算比較方便）。左側(cè)齒輪逆時針旋轉(zhuǎn)，右側(cè)順時針旋轉(zhuǎn)。
+ ^; f" n; s5 x5 H

對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關(guān)系式：
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
$ e5 K6 S: ~; n, i/ Q/ mr3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
; N$ g+ U  R# j1 h9 ?消去Cosβ參數(shù)，得到:
4 [; B# A: x4 J5 B: M7 p(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A


對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關(guān)系式：
, j9 r2 j& M4 Z0 e& O" O  `; Y3 @r2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
5 ?& `" }0 Y* j' l' ?9 o7 _" j-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
; i& \  J3 U+ _" U$ a+ b4 M消去Sinβ參數(shù)，得到:
9 O& v9 \+ O% f/ G- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
- t( V) @* o/ R& Y# }. [: ?
, Q" U& Z6 U4 T5 A* X3 r: j; H) _
+ M* q/ F! j( f( J把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯）:
# E) Q, T9 ^5 ?) F. o1 C) U4 K5 H
3 Z4 ]# g0 P- O% V% d! |
這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。
7 X7 X3 K" v3 D1 g6 D+ }
α=90度時，兩個驅(qū)動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。

若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側(cè)所取得點已經(jīng)逆時針轉(zhuǎn)過180度，右側(cè)尚未動，則
; }0 P3 s- Z+ Z! }+ F意味著兩個驅(qū)動臂已經(jīng)提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經(jīng)轉(zhuǎn)過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。

回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。
8 l5 H+ [! j% S8 l0 G
( r! [1 n; N! n4 d" v不妨拿這個仿形機構(gòu)來說明：

0 O3 v8 }: W) i" b' R% O9 N0 ~
* H4 v4 S0 |" N. p0 H) M8 U
% w4 ?, b+ F( n7 U* r' q- y這個機構(gòu)簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。

" M& a* o/ s  j3 M6 e: F$ Q7 y# b公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側(cè)輸入Za，中間輸入Zb，右側(cè)輸出為Zm。
3 i" X# H7 m; O3 a5 M/ M7 b假設(shè)Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設(shè)Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
. G, h% Q. a9 `. V不過由于處于杠桿的兩側(cè)，動作相反，因此有個負號。
5 p  G% O2 U: e2 T0 @. Z
一般的應(yīng)用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
日內(nèi)瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構(gòu)。老板把客人的姓名字母凹
9 n6 D. `) N# U" ?模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構(gòu)縮刻在刀柄上。
只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。
" Q+ O) V$ n* W, V  _+ W8 ?

. B( m! R$ T5 \% m# E+ M/ u. `, E

949457130

挺有意思！

從不孤單

挺好挺好

劍南春17385

厲害！��！
還證明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不錯

夕陽書生

好貼，頂一個
; `# C! H2 V6 o

GRL889

好強大啊

王大9997

高手啊，長見識了

shasu

平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧

gctdxy

厲害長見識了
9 X/ F( p' ]+ B: E5 f